Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Χαραλάμπους Χαρά
Η Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ είναι η συνέχεια του βασικού μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας και συνδέει τις έννοιες των πινάκων και των διανυσματικών χώρων με τις λύσεις των γραμμικών εξισώσεων, τις ιδιοτιμές και τα εσωτερικά γινόμενα.
Λιγότερα
Η Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ είναι η συνέχεια του βασικού μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας και συνδέει τις έννοιες των πινάκων και των διανυσματικών χώρων με τις λύσεις των γραμμικών εξισώσεων, τις ιδιοτιμές και τα εσωτερικά γινόμενα.
Η Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ είναι η συνέχεια του βασικού μαθήματος της Γραμμικής Άλγεβρας και συνδέει τις έννοιες των πινάκων και των διανυσματικών χώρων με τις λύσεις των γραμμικών εξισώσεων, τις ιδιοτιμές και τα εσωτερικά γινόμενα.
Περίγραμμα
Διδάσκοντες
Διδάσκουσα:
Χαρά Χαραλάμπους, Καθηγήτρια
Βιογραφικό:
http://users.auth.gr/~hara/cv_greek.pdf
Ομάδα ανάπτυξης περιεχομένου - Επεξεργασία Υλικού:
Ανέστης Φωτιάδης, Λέκτορας
Βιντεοσκόπηση :
Δημήτρης Χριστοδουλίδης
Περιεχόμενο μαθήματος
- Γραμμικά συστήματα
- Γραμμικές συναρτήσεις
- Εξίσωση διάστασης
- Πίνακας μετασχηματισμού
- Χαρακτηριστικά στοιχεία πίνακα (Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα)
- Διαγωνιοποίηση πίνακα
- Θεώρημα Caley-Hamilton
- Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο
- Ορθογώνιοι πίνακες
- Φασματικό Θεώρημα
Μαθησιακοί στόχοι
Κατανόηση των βασικών εννοιών που συνοψίζονται στη περιγραφή της Γραμμικής Άλγεβρας II, ανάπτυξη της κριτικής σκέψης των εκπαιδευόμενων και εφαρμογή των εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας στους διάφορους τομείς των Μαθηματικών.
Προαπαιτούμενα
Βασικές γνώσεις, όπως περιγράφονται στο μάθημα της Εισαγωγής στην Άλγεβρα και στο μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας Ι.
Μέθοδοι διδασκαλίας
Πρόσωπο με πρόσωπο
Μέθοδοι αξιολόγησης
- Γραπτή εξέταση
- Γραπτή εργασία (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
Βιβλιογραφία
-
Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θ., Χαραλάμπους, Χ., & Βαβατσούλας, Χ. (2006). Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. Θεσσαλονίκη: [χ.ο.].
-
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ (συμπληρώνει και τονίζει με άλλη οπτική γωνία κάποια από τα θέματα, βλ. Lectures 1, 7, 8,14, 15, 16, 17, 21, 22).
Διδάσκουσα:
Χαρά Χαραλάμπους, Καθηγήτρια
Βιογραφικό:
http://users.auth.gr/~hara/cv_greek.pdf
Ομάδα ανάπτυξης περιεχομένου - Επεξεργασία Υλικού:
Ανέστης Φωτιάδης, Λέκτορας
Βιντεοσκόπηση :
Δημήτρης Χριστοδουλίδης
- Γραμμικά συστήματα
- Γραμμικές συναρτήσεις
- Εξίσωση διάστασης
- Πίνακας μετασχηματισμού
- Χαρακτηριστικά στοιχεία πίνακα (Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα)
- Διαγωνιοποίηση πίνακα
- Θεώρημα Caley-Hamilton
- Διανυσματικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο
- Ορθογώνιοι πίνακες
- Φασματικό Θεώρημα
Κατανόηση των βασικών εννοιών που συνοψίζονται στη περιγραφή της Γραμμικής Άλγεβρας II, ανάπτυξη της κριτικής σκέψης των εκπαιδευόμενων και εφαρμογή των εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας στους διάφορους τομείς των Μαθηματικών.
Βασικές γνώσεις, όπως περιγράφονται στο μάθημα της Εισαγωγής στην Άλγεβρα και στο μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας Ι.
Πρόσωπο με πρόσωπο
- Γραπτή εξέταση
- Γραπτή εργασία (Διαμορφωτική, Συμπερασματική)
-
Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θ., Χαραλάμπους, Χ., & Βαβατσούλας, Χ. (2006). Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα. Θεσσαλονίκη: [χ.ο.].
-
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/ (συμπληρώνει και τονίζει με άλλη οπτική γωνία κάποια από τα θέματα, βλ. Lectures 1, 7, 8,14, 15, 16, 17, 21, 22).
Γραμμικά συστήματα: μέθοδος εύρεσης λύσεων, Γραφή συνόλου λύσεων, μη συμβατά συστήματα Null(A), Ker(f) και Null(A), Im(f) και επίλυση γραμμικών συστημάτων, Μέθοδος του Cramer, σημεία σε μία καμπύλη
Λέξεις Κλειδιά: Ομογενή συστήματα, Null(A), Ker(f), Im(f), Μέθοδος του Cramer, σημεία σε μία καμπύλη, επανάληψη
Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα, Αλγόριθμος εύρεσης, Γραφική απεικόνιση Ιδιοδιανυσμάτων, Ιδιοτιμές αντιστρόφου και αναστρόφου και δυνάμεων πίνακα, χαρακτηριστικό πολυώνυμο, όμοιοι πίνακες και ιδιοτιμές
Λέξεις Κλειδιά: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα, Ιδιοχώροι, χαρακτηριστικό πολυώνυμο
Ιδιοχώροι, Αλγεβρική και Γεωμετρική Πολλαπλότητα, Ανεξαρτησία Ιδιοδιανυσμάτων για διαφορετικές ιδιοτιμές, Διαγωνιοποίηση, Εφαρμογές: πρόβλημα κυνηγού+λείας
Λέξεις Κλειδιά: Διαγωνιοποίηση, γεωμετρική και αλγεβρική πολλαπλότητα
Θεώρημα Cayley-Hamilton και εφαρμογές
Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα Cayley-Hamilton
Εσωτερικά γινόμενα σε Ερμιτιανούς και Ευκλείδειους χώρους, ορισμοί και ιδιότητες, μήκος διανυσμάτων
Λέξεις Κλειδιά: Εσωτερικό γινόμενο, Ερμιτιανός και Ευκλείδειος χώρος, μήκος, μιγαδικό επίπεδο
Ορθογώνια διανύσματα, προβολές, ιδιότητες ορθογώνιας βάσης, ορθογώνιο συμπλήρωμα, Προβολές, ανισότητα Cauchy-Scwarz (απόδειξη με προβολή), μέθοδος των Gram-Schmidt
Λέξεις Κλειδιά: Ορθογώνια διανύσματα, προβολές, ορθογώνιο συμπλήρωμα μέθοδος των Gram-Schmidt, ανισότητα Cauchy-Scwarz
Ορθογώνιο συμπλήρωμα χώρου γραμμών = μηδενοχώρος του συζυγή αναστρόφου, μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων, Ευθεία ελαχίστων τετραγώνων, γενικευμένο εσωτερικό γινόμενο
Λέξεις Κλειδιά: μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων
Ισομετρίες, διατήρηση του εσωτερικού γινομένου και απεικόνιση ορθοκανονικής βάσης σε ορθοκανονική βάση, ισομετρίες στο επίπεδο: αντικατοπτρισμοί, περιστροφές, ισομετρίες στο R^3, ορθογώνιοι πίνακες, ισομετρίες σε ερμητιανούς χώρους, ορθομοναδιαίοι πίνακες
Λέξεις Κλειδιά: ισομετρία, Ορθομοναδιαίος πίνακας
Προσαρτημένος πίνακας, φασματικό θεώρημα, Αυτοπροσαρτημένες γραμμικές συναρτήσεις και ιδιοτιμές τους
Λέξεις Κλειδιά: Προσαρτημένος πίνακας, φασματικό θεώρημα
Τετραγωνικές μορφές
Λέξεις Κλειδιά: τετραγωνικές μορφές
Κανονικοί πίνακες, παραδείγματα, αντίστροφο φασματικού θεωρήματος, Αν <v,f(w)>=<v, g(w)> για κάθε v,w τότε f=g, αντίστροφο φασματικού θεωρήματος
Λέξεις Κλειδιά: Κανονικοί πίνακες
Στην ενότητα αυτή παρουσιάζεται το εισαγωγικό μέρος του μαθήματος.
Λέξεις Κλειδιά: Γραμμικές εξισώσεις, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα, Ευκλείδειος χώρος, Ερμιτιανός χώρος
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 22086
Αρ. Προβολών : 97522
