Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου

Η πρώτη ενότητα αποτελείται από δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος γίνεται μια αναφορά στο ιστορικό της γέννησης του σημαντικού κλάδου των Μαθηματικών, του Λογισμού των Μεταβολών. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζεται, ως άμεση εφαρμογή του Λογισμού των Μεταβολών, η ανάπτυξη της Θεωρίας του Βέλτιστου Ελέγχου, δίνοντας ταυτόχρονα αρκετές εφαρμογές από την καθημερινότητα.

Λέξεις  Κλειδιά:Το πρόβλημα της Διδούς,Ισοπεριμετρικό πρόβλημα, Ισοεπιφανειακό πρόβλημα, Το πρόβλημα της αλυσίδας, Ο νόμος της ανάκλασης,Ο νόμος της διάθλασης, Πρόβλημα αεροδυναμικής, Ταυτόχρονο πρόβλημα, Κυκλοειδής καμπύλη, Βραχυστόχρονο πρόβλημα, Λογισμός των Μεταβολών, Το πρόβλημα του Βέλτιστου Ελέγχου.

Στην δεύτερη ενότητα γίνεται μια επανάληψη σε έννοιες με τις οποίες πρέπει να είναι εξοικειωμένος όποιος θέλει να εντρυφήσει στον Λογισμό των Μεταβολών και στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Πιο συγκεκριμένα γίνεται αναφορά σε προβλήματα βελτιστοποίησης συναρτήσεων μιας ή και περισσοτέρων μεταβλητών καθώς και εννοιών από την μελέτη συστημάτων στον χώρο των καταστάσεων. Τέλος παρουσιάζεται μια σειρά από προβλήματα της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου τα οποία θα μελετήσουμε σε επόμενες ενότητες.

Λέξεις Κλειδιά: θετικά (αρνητικά) ορισμένοι πίνακες, κλίση συνάρτησης, πίνακας καμπυλότητας, στατική βελτιστοποίηση, πολλαπλασιαστές Lagrange, ελεγξιμότητα, παρατηρησιμότητα, κριτήριο απόδοσης, πρόβλημα ελαχίστου χρόνου, πρόβλημα ελέγχου τελικής τιμής, πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας, πρόβλημα παρακολούθησης, πρόβλημα ρυθμιστή.

Στην τρίτη ενότητα γίνεται μια επανάληψη στην βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας ή και περισσοτέρων μεταβλητών. Αποτελεί ουσιαστικά μια πιο αναλυτική παρουσίαση του αντίστοιχου αντικειμένου που παρουσιάστηκε στην ενότητα 2. Η όλη παρουσίαση είναι στα αγγλικά.

Λέξεις Κλειδιά: θετικά (αρνητικά) ορισμένοι πίνακες, κλίση συνάρτησης, Ιακωβιανή, πίνακας καμπυλότητας, στατική βελτιστοποίηση, πολλαπλασιαστές Lagrange

Στην τέταρτη ενότητα γίνεται ένας παραλληλισμός μεταξύ της έννοιας της συνάρτησης και της έννοιας του συναρτησιακού (το πεδίο ορισμού, γραμμικότητα, νόρμα διανύσματος/συνάρτησης, η έννοια της απόστασης μεταξύ διανυσμάτων/ συναρτήσεων, συνέχεια, μεταβολή). Στο τέλος διατυπώνεται το Βασικό Θεώρημα του Λογισμού των Μεταβολών, βάσει του οποίου διατυπώνεται μια αναγκαία συνθήκη ύπαρξης ακροτάτου σε ένα συναρτησιακό.

Λέξεις Κλειδιά: Συναρτησιακό, Γραμμικό συναρτησιακό, Νόρμα συνάρτησης, Νορμικός χώρος, Ισχυρή (ασθενής) νόρμα, Συνέχεια συναρτησιακού, Μεταβολή συναρτησιακού, Πρώτη μεταβολή συναρτησιακού, Διαφορικό Frechet,Ισχυρό (ασθενές) τοπικό ακρότατο

Στην πέμπτη ενότητα διατυπώνουμε ικανές (Legendre - Jacobi) και αναγκαίες (Euler - Lagrange) συνθήκες για την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού το οποίο εξαρτάται από μια συνάρτηση μιας μεταβλητής π.χ. J(t,x(t),x’(t)). Δεδομένων των αρχικών συνθηκών της συνάρτησης x(t) παρουσιάζουμε την τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας που πρέπει να πληροί η συνάρτηση x(t) και εξετάζουμε όλες τις ειδικές περιπτώσεις που μπορεί να έχουμε. Τέλος εξετάζουμε την περίπτωση που δεν είναι γνωστές και οι αρχικές αλλά και οι τελικές συνθήκες της συνάρτησης x(t), διατυπώνοντας συνθήκες εγκαρσιότητας που πρέπει να ικανοποιούνται και από τις αρχικές αλλά και τις τελικές συνθήκες. Παρουσιάζονται μερικές κλασικές εφαρμογές όπως η επίλυση του βραχυστόχρονου προβλήματος (brachistochrone problem) καθώς και το πρόβλημα της αλυσίδας (hanging chain or catenary problem).

Λέξεις Κλειδιά: Συνθήκες Euler – Lagrange, Συνθήκες Legendre – Jacobi, Τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας (tranversality conditions)

Στην έκτη ενότητα γενικεύονται όλα τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν στην Ενότητα 5 σε συναρτησιακά διανυσματικών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτησιακά που περιέχουν μια ή παραπάνω συναρτήσεις μιας μεταβλητής και τις παραγώγους τους.

Λέξεις Κλειδιά: Συνθήκες Euler – Lagrange, Συνθήκες Legendre – Jacobi, Τερματική συνθήκη ή συνθήκη εγκαρσιότητας (tranversality conditions)

Ενώ στην ενότητα 6, μελετήσαμε την ύπαρξη τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού J(t,x(t),x’(t)), το οποίο εξαρτάται από μια διανυσματική συνάρτηση x(t) και την συνεχή παράγωγο της, στην ενότητα αυτή μελετούμε την περίπτωση που η παράγωγος της διανυσματικής συνάρτησης x(t) έχει ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας. Πέρα των γνωστών συνθηκών που διατυπώσαμε σε προηγούμενες ενότητες, έχουμε να προσθέσουμε και συνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί η διανυσματική συνάρτηση x(t) και η παράγωγος της, στα σημεία ασυνέχειας της παραγώγου της x(t). Οι συνθήκες αυτές είναι γνωστές και ως συνθήκες Weierstrass-Erdmann.

Λέξεις Κλειδιά: Συνθήκες Euler – Lagrange, Συνθήκες Legendre – Jacobi, Γωνιακές Συνθήκες Weierstrass-Erdmann

Στην όγδοη ενότητα μελετούμε το πρόβλημα της Ενότητας 6, δηλαδή την εύρεση τοπικού ακρότατου ενός συναρτησιακού J(t,x(t),x’(t)), το οποίο εξαρτάται από μια διανυσματική συνάρτηση x(t)=(x₁(t),x₂(t),…,x_n(t)) δεδομένου όμως ότι ικανοποιείται ένα πλήθος από m διαφορικές εξισώσεις της μορφής q_i(t,x(t),x’(t))=0, i=1,2,…,m. Με άλλα λόγια, η διανυσματική συνάρτηση x(t) υπόκειται σε δεσμούς που ερμηνεύονται από ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων. Κάτι αντίστοιχο έχουμε συναντήσει όταν θέλαμε να υπολογίσουμε το τοπικό ακρότατο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών, δεδομένου ότι οι μεταβλητές αυτές υπόκεινται σε κάποιους δεσμούς. Όπως τότε, έγινε χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange, έτσι και εδώ χρησιμοποιούμε πολλαπλασιαστές Lagrange που όμως τώρα δεν είναι σταθερές αλλά συναρτήσεις.

Λέξεις Κλειδιά: Συναρτησιακή εξάρτηση, Πολλαπλασιαστές Lagrange, Ισοπεριμετρικό πρόβλημα

Οι ενότητες 1-8 πραγματεύονται τον Λογισμό των Μεταβολών. Με την ένατη ενότητα μπαίνουμε στον Βέλτιστο Έλεγχο Συστημάτων. Ξεκινούμε με την επίλυση του προβλήματος Bolza. Ποιο συγκεκριμένα μελετούμε την ύπαρξη τοπικού ακρότατου του συναρτησιακού  δεδομένου ότι το  ικανοποιεί το σύστημα διαφορικών εξισώσεων . Στην ενότητα αυτή μελετούμε την περίπτωση που η είσοδος u(t) δεν είναι φραγμένη. Είναι ένα πρόβλημα με δεσμούς όπως αυτό που συναντήσαμε και στην ενότητα 8. Η διαφορά, έγκειται στο ότι ορίζουμε μια συνάρτηση γνωστή και ως Χαμιλτονιανή, μέσω της οποίας ορίσουμε τις ικανές και αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται ώστε το συναρτησιακό μας να παρουσιάζει ακρότατο. Επίσης όλες οι συνθήκες εγκαρσιότητας ορίζονται μέσω της Χαμιλτονιανής που έχουμε ορίσει.

Λέξεις Κλειδιά: Πρόβλημα Bolza, Χαμιλτονιανή συνάρτηση ελέγχου (συνάρτηση Pontryagin), Μεταβλητές στον χώρο των καταστάσεων (state space variables), Συζευγμένες μεταβλητές στον χώρο των καταστάσεων (costate variables), Εξίσωση σύζευξης (coupling equation), Συνθήκη στατικότητας (stationarity equation)

Στην δέκατη ενότητα μελετούμε μια ειδική κατηγορία του προβλήματος που αναφέραμε στην Ενότητα 9 : το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα (Linear Quadratic Regulator problem (LQR)) ή πρόβλημα βέλτιστου ρυθμιστή με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα ή με άπειρο χρονικό ορίζοντα. Και στις δύο περιπτώσεις η λύση είναι ανάδραση κατάστασης. Για τον προσδιορισμό της ανάδρασης κατάστασης στο πρώτο πρόβλημα, που έχουμε πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti, ενώ στην περίπτωση που έχουμε άπειρο χρονικό ορίζοντα παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti ανάγεται σε αλγεβρική εξίσωση. Ενώ στην πρώτη περίπτωση (πεπερασμένος χρονικός ορίζοντας) υπάρχει πάντα λύση, στην δεύτερη περίπτωση (άπειρος χρονικός ορίζοντας) για να έχει το πρόβλημα μας λύση θα πρέπει οι μεταβλητές του χώρου κατάστασης που εμπλέκονται στο συναρτησιακό να είναι ελέγξιμες ή τουλάχιστο σταθεροποιήσιμες για να μην απειρίζεται η συνάρτηση κόστους. Τέλος λύνουμε μια γενίκευση του προβλήματος αυτού, που είναι το πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem).

Λέξεις Κλειδιά:Διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti, Αλγεβρική εξίσωση πινάκων Riccatti, Γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ή πρόβλημα βέλτιστου ρυθμιστή, Linear Quadratic Regulator (LQR) πρόβλημα, Ανιχνεύσιμο (detectable), Σταθεροποιήσιμο (stabilizable), Cholesky παραγοντοποίηση, Πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem)

Στην εντέκατη ενότητα μελετούμε το πρόβλημα της ενότητας 9, με την μόνη διαφορά ότι η είσοδος είναι φραγμένη. Στην περίπτωση αυτή μια από τις συνθήκες που είχαμε για την ύπαρξη ακρότατου αντικαθίσταται από την αρχή ελαχίστου (σε άλλα βιβλία μεγίστου, λόγω διαφοράς ορισμού της Χαμιλτονιανής) του Pontryagin. Βασιζόμενοι στην αρχή αυτή επιλύουμε τα προβλήματα : α) του ελαχίστου χρόνου, β) των ελαχίστων καυσίμων και γ) της ελάχιστης ενέργειας.

Λέξεις Κλειδιά: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin, Πρόβλημα ελαχίστου χρόνου (time optimal control problem), Bang-bang control, Πρόβλημα ελαχίστων καυσίμων (fuel optimal control problem), Bang-off-bang control, Πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας (energy optimal control problem)