Λογισμός ΙΙΙ

Μαριάς Μιχαήλ

Περιγραφή

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, όρια, συνέχεια. Μερικές παράγωγοι, γεωμετρική ερμηνεία, σχέση με συνέχεια. Παράγωγος αριθμητικών και διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών. Ιδιότητες της παραγώγου, κανόνας της αλυσίδας. Κλίση και κατευθυνόμενη παράγωγος. Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου. Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης. Iσότητα μικτών παραγώγων. Tύπος του Taylor. Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Συνθήκες για τοπικά ακρότατα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse στην περίπτωση δυο μεταβλητών. Ακρότατα υπό συνθήκες (πολλαπλασιαστές Lagrange). Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων. Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή. Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης.

Περίγραμμα

Διδάσκοντες

Διδάσκων: Μιχαήλ Μαριάς, Αναπληρωτής Καθηγητής

Συνεργάτης Ανάπτυξης Περιεχομένου: Αναστασία Γρηγοριάδου

Περιεχόμενο μαθήματος

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, όρια, συνέχεια.
Μερικές παράγωγοι, γεωμετρική ερμηνεία, σχέση με συνέχεια.
Παράγωγος αριθμητικών και διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Eφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα του γραφήματος μιας συνάρτησης δυο μεταβλητών.
Ιδιότητες της παραγώγου, κανόνας της αλυσίδας.
Κλίση και κατευθυνόμενη παράγωγος. Απόκλιση και στροβιλισμός διανυσματικού πεδίου.
Mερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης. Iσότητα μικτών παραγώγων.
Tύπος του Taylor.
Mέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Συνθήκες για τοπικά ακρότατα ή σαγματικά σημεία. Πίνακας του Hesse στην περίπτωση δυο μεταβλητών.
Ακρότατα υπό συνθήκες ( πολλαπλασιαστές Lagrange).
Πεπλεγμένες συναρτήσεις. Θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων. Παραγώγιση συναρτήσεων που δίνονται σε πεπλεγμένη μορφή.
Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης.

Μαθησιακοί στόχοι

Ο εκπαιδευόμενος να γνωρίζει, να κατανοεί και να χειρίζεται τις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και τις ιδιότητές τους.

Προαπαιτούμενα

Λογισμός Ι
Λογισμός ΙΙ

Βιβλιογραφία

Mαθήματα ∆ιαφορικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών των Ν. ∆ανίκα, Μ. Μαριά.
∆ιανυσματικός Λογισμός των J. Marsden, A. Tromba.

Επιπλέον συνιστώμενη βιβλιογραφία

Βιβλία - κείμενα (Text/books)
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1974.
- J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2000.
- J.-M. Monier, Analyse 4, Dunod, Paris, 2000.
- M. Spivak, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1994.
- Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, 1996.

Ενότητες

Τοπολογία των Ευκλειδείων χώρων

Στην 1^η ενότητα μελετάμε την συνέχεια πραγματικών αλλά και διανυσματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Θα αποδείξουμε τα θεωρήματα των άκρων και των ενδιάμεσων τιμών για συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις. Θα τελειώσουμε με την έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας και την σχέση συνέχειας και συμπάγειας.

Λέξεις Κλειδιά: Απόσταση στον R^n, Σύγκλιση, Ακολουθίες

Τοπολογικές ιδιότητες των συνόλων του R^n

Στην 2^η ενότητα περιγράφονται οι τοπολογικές ιδιότητες των υποσυνόλων του R^n.

Λέξεις Kλειδιά: Ανοικτά σύνολα, Κλειστά σύνολα, Συμπάγεια, Κυρτά σύνολα, Συνεκτικά σύνολα

Όρια και Συνέχεια Συναρτήσεων

Στην 3^η ενότητα παρουσιάζονται ο ορισμός του ορίου συναρτήσεων και ο ορισμός της συνέχειας συναρτήσεων.

Λέξεις Κλειδιά: Όριο συνάρτησης, Συνέχεια Συνάρτησης, Συνέχεια με ακολουθίες

Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων

Στην 4^η ενότητα δίνεται ο ορισμός της συνέχειας διανυσματικών συναρτήσεων και παρουσιάζονται οι ιδιότητες της.

Λέξεις Κλειδιά: Συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων, Ιδιότητες συνέχειας

Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιαμέσων τιμών

Στην 5^η ενότητα αποδεικνύουμε δύο ουσιαστικά θεωρήματα της συνέχειας πραγματικών συναρτήσεων. Το θεώρημα ακραίων τιμών και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Επίσης ορίζεται η ομοιόμορφη συνέχεια.

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα ακραίων τιμών, Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, Ομοιόμορφη συνέχεια

Μερικές παράγωγοι

Στην 6^η ενότητα δίνεται ο ορισμός των μερικών παραγώγων και πλήθος παραδειγμάτων.

Λέξεις Κλειδιά: Μερικές παράγωγοι 1^ης τάξης, Μερικές παράγωγοι 2^ης τάξης

Κλίση και παράγωγος

Στην 7^η ενότητα δίνεται ο ορισμός της παραγώγου ως διάνυσμα της κλίσης.

Λέξεις Κλειδιά: Ορισμός της παραγώγου, διαφορισιμότητα

Ιδιότητες της κλίσης, Κανόνας της αλυσίδας

Στην 8^η ενότητα παρουσιάζονται η απόδειξη του κανόνα της αλυσίδας και η απόδειξη του θεωρήματος μέσης τιμής.

Λέξεις Κλειδιά: Κανόνας της αλυσίδας, Θεώρημα μέσης τιμής

Ιδιότητες της κλίσης

Στην 9^η ενότητα συνεχίζεται η μελέτη των ιδιοτήτων της κλίσης.

Λέξεις Κλειδιά: Μεταβολή συνάρτησης και κλίση, Κλίση και ισότιμες επιφάνειες, Εφαπτόμενο επίπεδο και κλίση

Παραγώγιση διανυσματικών συναρτήσεων

Στην 10^η ενότητα παρουσιάζεται ο ορισμός της παραγώγου διανυσματικών συναρτήσεων.

Λέξεις Κλειδιά: Παράγωγος διανυσματικών συναρτήσεων, Ιδιότητες, Οι κλασικοί μετασχηματισμοί

Κανόνας της αλυσίδας

Στην 11^η ενότητα μελετάται η απόδειξη του κανόνα της αλυσίδας για διανυσματικές συναρτήσεις.

Λέξεις Κλειδιά: Κανόνας της αλυσίδας

Οι κλασικοί μετασχηματισμοί και ο κανόνας της αλυσίδας

Στην 12^η ενότητα παρουσιάζονται η Λαπλασιανή στις πολικές και σφαιρικές συντεταγμένες και οι αρμονικές συναρτήσεις. Επίσης γίνεται εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας στους κλασικούς μετασχηματισμούς.

Λέξεις Κλειδιά: Λαπλασιανή, Πολικές και σφαιρικές συντεταγμένες, Αρμονικές συναρτήσεις

Τύπος του Taylor

Στην 13^η ενότητα μελετάται η απόδειξη του τύπου του Taylor 2^ης τάξης.

Λέξεις Κλειδιά: Τύπος του Taylor

Τοπικά ακρότατα

Στην 14^η ενότητα μελετάμε τα τοπικά ακρότατα συναρτήσεων.

Λέξεις Κλειδιά: Κρίσιμα σημεία, Τοπικά ακρότατα, Κριτήριο της Εσσιανής

Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες

Στην 15^η ενότητα μελετώνται τα τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες και πλήθος παραδειγμάτων.

Λέξεις Κλειδιά: Τοπικά ακρότατα υπό συνθήκες

Θεώρημα Αντιστροφής

Στην 16^η ενότητα μελετάμε το Θεώρημα αντιστροφής και πλήθος παραδειγμάτων.