Αρμονική Ανάλυση
Μαριάς Μιχαήλ
Στοιχεία Πραγματικής Ανάλυσης, χώροι Lp. Αρμονικές συναρτήσεις στον Rn. Ο μετασχηματισμός Fourier και οι κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους στον Rn. Πυρήνες θερμότητας και Poisson.
Λιγότερα
Στοιχεία Πραγματικής Ανάλυσης, χώροι Lp. Αρμονικές συναρτήσεις στον Rn. Ο μετασχηματισμός Fourier και οι κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους στον Rn. Πυρήνες θερμότητας και Poisson.
Στοιχεία Πραγματικής Ανάλυσης, χώροι Lp. Αρμονικές συναρτήσεις στον Rn. Ο μετασχηματισμός Fourier και οι κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους στον Rn. Πυρήνες θερμότητας και Poisson.
Περίγραμμα
Διδάσκοντες
Διδάσκων: Μιχαήλ Μαριάς, Αναπληρωτής Καθηγητής
Συνεργάτης Ανάπτυξης Περιεχομένου: Αναστασία Γρηγοριάδου
Περιεχόμενο μαθήματος
- Αρμονικές συναρτήσεις στο επίπεδο, Μετασχηματισμός Hilbert.
- Ο μετασχηματισμός Fourier στον χώρο του Schwartz και το θεώρημα του Plancherel.
- Πραγματική ανάλυση: οι χώροι Lp.
- Αρμονικές συναρτήσεις στον Rn.
- Εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier στις κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (δ.ε.μ.π.).
Μαθησιακοί στόχοι
Μια πρώτη εισαγωγή στην Αρμονική ανάλυση στον Rn.
Προαπαιτούμενα
Γίνεται προσπάθεια να εξηγούνται τα προαπαιτούμενα «επί τόπου».
Βιβλιογραφία
- Μαθήματα Αρμονικής Ανάλυσης του Μ. Μαριά.
- Τριγωνομετρικές Σειρές του Α. Sygmund.
Επιπλέον συνιστώμενη βιβλιογραφία
- A. Carbery, Harmonic Analysis of the Calderόn-Zygmund School, 1970-1993, Bull. London Math. Soc., 30, (1998), 11-23.
- W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1970.
- E. M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton University Press, Princeton 1993.
- E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970.
- E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.
Διδάσκων: Μιχαήλ Μαριάς, Αναπληρωτής Καθηγητής
Συνεργάτης Ανάπτυξης Περιεχομένου: Αναστασία Γρηγοριάδου
- Αρμονικές συναρτήσεις στο επίπεδο, Μετασχηματισμός Hilbert.
- Ο μετασχηματισμός Fourier στον χώρο του Schwartz και το θεώρημα του Plancherel.
- Πραγματική ανάλυση: οι χώροι Lp.
- Αρμονικές συναρτήσεις στον Rn.
- Εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier στις κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (δ.ε.μ.π.).
Μια πρώτη εισαγωγή στην Αρμονική ανάλυση στον Rn.
Γίνεται προσπάθεια να εξηγούνται τα προαπαιτούμενα «επί τόπου».
- Μαθήματα Αρμονικής Ανάλυσης του Μ. Μαριά.
- Τριγωνομετρικές Σειρές του Α. Sygmund.
Επιπλέον συνιστώμενη βιβλιογραφία
- A. Carbery, Harmonic Analysis of the Calderόn-Zygmund School, 1970-1993, Bull. London Math. Soc., 30, (1998), 11-23.
- W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1970.
- E. M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton University Press, Princeton 1993.
- E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970.
- E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971.
Στην 1η ενότητα μελετάμε τις αρμονικές συναρτήσεις στο επίπεδο και τις ιδιότητες τους.
Λέξεις Κλειδιά: Αρμονικές συναρτήσεις στο επίπεδο, Ιδιότητα του μέσου όρου, Αρχή του μεγίστου, Θεώρημα του Liouville.
Στην 2η ενότητα παρουσιάζεται το υλικό από την Πραγματική ανάλυση που μας είναι απαραίτητο: ουσιαστικά οι χώροι Lp, οι ασθενείς Lp και τα Θεωρήματα Παρεμβολής.
Λέξεις Κλειδιά: Ανισότητες Holder και Minkowski, Χώροι Lp , Προσέγγιση συναρτήσεων του Lp , Δυικός του Lp, Θεώρημα παρεμβολής του Riesz, Ανισότητα Young
Στην 3η ενότητα εισάγουμε και θα μελετήσουμε αρμονικές στον Rn χωρίς να κάνουμε χρήση της μιγαδικής δομής που άλλωστε δεν υπάρχει για περιττά n.
Λέξεις Κλειδιά: Ιδιότητα του μέσου όρου, Αρχή μεγίστου,Θεώρημα Liouville.
Στην 4η ενότητα εισάγεται και μελετάται ο μετασχηματισμός Fourier στον χώρο του Schwartz και αποδεικνύεται το Θεώρημα του Plancherel.
Λέξεις Κλειδιά: Ο μετασχηματισμός Fourier, Ισομετρία του Plancherel
Στην 5η ενότητα θα δούμε μια πρώτη εφαρμογή του Fourier στις κλασικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (δ.ε.μ.π.): της θερμότητας στον Rn, του Poisson στον Rn και του Laplace στον άνω ημιχώρο R+n+1 . Οι θεμελιώδεις λύσεις τους είναι ο πυρήνας του Gauss, η συνάρτηση Green και ο πυρήνας Poisson αντίστοιχα.
Λέξεις Κλειδιά: Εξίσωση της θερμότητας, Εξίσωση Poisson, Εξίσωση Laplace
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 5301
Αρ. Προβολών : 20472
