Αναπαραστάσεις Lie αλγεβρών

Δασκαλογιάννης Κωνσταντίνος

Περιγραφή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Εισαγωγή στις ομάδες Lie, κατασκευή αλγεβρών Lie από ομάδες Lie. Βασικές αρχές και ορισμοί, παραγωγίσεις, ιδεώδη, επιλύσιμες και μηδενοδύναμες Lie άλγεβρες, το παράδειγμα μιας Lie άλγεβρας sl_n (C).
ΑΠΛΕΣ ΚΑΙ ΗΜΙΑΠΛΕΣ Lie ΑΛΓΕΒΡΕΣ
Cartan υποάλγεβρες, μορφή Killing, ομάδα Weyl, διαγράμματα Dynkin, ταξινόμηση ημιαπλών Lie αλγεβρών.
ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ, ΔΟΜΗ HOPF
Ορισμός περιβάλλουσας άλγεβρας μιας Lie άλγεβρας, Θεώρημα Poincaré-Birkhoff-Witt, Φίλτρα και βαθμοί μιας περιβάλλουσας άλγεβρας. Εκθετική απεικόνιση μιας Lie άλγεβρας σε μια Lie ομάδα, τύποι Campell-Haussdorf. Casimirs για Lie άλγεβρες. Εισαγωγή στην δομή Hopf για περιβάλλουσες Lie άλγεβρες. Επεκτάσεις-παραμορφώσεις Lie αλγεβρών, εισαγωγή στις κβαντικές ομάδες.
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ MODULES
Θεώρημα Ado-Isawa, πεπερασμένες ανάγωγες αναπαραστάσεις, θεμελιώδεις αναπαραστάσεις, χαρακτήρας Weyl και τύποι διάτασης. Επαγώμενες αναπαραστάσεις. Αναπαραστάσεις Gelfand’-Zetlin. Τανυστικές αναπαραστάσεις.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
Συμμετρίες oλοκληρωσίμων συστημάτων, Backlund—Lie συμμετρίες, τελεστές Lax, χαμιλτονιανά συστήματα, άλγεβρες Lie-Poisson. Ιδιοτιμές επιλύσιμων και ημιεπιλύσιμων διαφορικών εξισώσεων με την βοήθεια της sl₂ . Ειδικές συναρτήσεις παραγόμενες από άλγεβρες. Περιγραφή συμμετριών κβαντικών συστημάτων με Lie άλγεβρες su(2), su(3).

Λιγότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Εισαγωγή στις ομάδες Lie, κατασκευή αλγεβρών Lie από ομάδες Lie. Βασικές αρχές και ορισμοί, παραγωγίσεις, ιδεώδη, επιλύσιμες και μηδενοδύναμες Lie άλγεβρες, το παράδειγμα μιας Lie άλγεβρας sl_n (C).
ΑΠΛΕΣ ΚΑΙ ΗΜΙΑΠΛΕΣ Lie ΑΛΓΕΒΡΕΣ
Cartan υποάλγεβρες, μορφή Killing, ομάδα Weyl, διαγράμματα Dynkin, ταξινόμηση ημιαπλών Lie αλγεβρών.
ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΕΣ ΑΛΓΕΒΡΕΣ, ΔΟΜΗ HOPF
Ορισμός περιβάλλουσας άλγεβρας μιας Lie άλγεβρας, Θεώρημα Poincaré-Birkhoff-Witt, Φίλτρα και βαθμοί μιας περιβάλλουσας άλγεβρας. Εκθετική απεικόνιση μιας Lie άλγεβρας σε μια Lie ομάδα, τύποι Campell-Haussdorf. Casimirs για Lie άλγεβρες. Εισαγωγή στην δομή Hopf για περιβάλλουσες Lie άλγεβρες. Επεκτάσεις-παραμορφώσεις Lie αλγεβρών, εισαγωγή στις κβαντικές ομάδες.
ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ MODULES
Θεώρημα Ado-Isawa, πεπερασμένες ανάγωγες αναπαραστάσεις, θεμελιώδεις αναπαραστάσεις, χαρακτήρας Weyl και τύποι διάτασης. Επαγώμενες αναπαραστάσεις. Αναπαραστάσεις Gelfand’-Zetlin. Τανυστικές αναπαραστάσεις.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ
Συμμε

Περισσότερα

Περίγραμμα

Διδάσκοντες

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Δασκαλογιάννης, Καθηγητής

Συνεργάτης Ανάπτυξης Περιεχομένου: Αναστασία Γρηγοριάδου

Περιεχόμενο μαθήματος

Εισαγωγή.
Απλές και ημίαπλες Lie άλγεβρες.
Περιβάλλουσες άλγεβρες, δομή Hopf.
Αναπαραστάσεις και modules.
Παραδείγματα εφαρμογών.

Μαθησιακοί στόχοι

Εισαγωγή των μεταπτυχιακών φοιτητών στην μελέτη και στις τεχνικές αλγεβρών μη προσεταιριστικών όπως είναι οι Lie άλγεβρες.

Ομάδα στόχος

Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές/απόφοιτοι του τμήματος Μαθηματικών.

Προαπαιτούμενα

Βασική Άλγεβρα.

Προτεινόμενα συγγράμματα

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation theory, Springer Graduate Texts in Mathematics, 1972.
W Fulton & J Harris, Representation Theory, Grad. Texts in Maths, Springer 1991.
B C Hall Lie Groups, Lie Algebras and Representations, Grad. Texts in Maths. Springer 2003.
R. W. Carter et al, Lecture Notes on Lie Groups and Lie Algebras, London Math. Soc. Student texts 321995 (μαθήματα για μεταπτυχιακούς σπουδαστές, ειδικά οι σημειώσεις του R. W. Carter για Lie άλεγεβρες).
N. Jacobson , LIE ALGEBRAS, Dover 1962.
A Roy Chowdhury, Lie algebraic methods in integrable systems, ed. Chapman & Hall 2000.
A. O. Barut and Ra czka, Theory of Group Representations and Applications, ed. Ars Polona 1977.

| 0 αξιολογήσεις |