Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης

Μαριάς Μιχαήλ

Περιγραφή

Το μέτρο Lebesgue στην πραγματική ευθεία. Μετρήσιμες συναρτήσεις. Θεώρημα  Καραθεοδωρή και μέτρα Borel. Το ολοκλήρωμα Lebesgue. Θεώρημα μονότονης και κυριαρχούμενης σύγκλισης. Σύγκριση ολοκληρωμάτων Riemann και Lebesgue. Aφηρημένη θεωρία μέτρου. Προσημασμένα και μιγαδικά μέτρα. Μέτρα γινόμενα, θεώρημα Fubini. Χώροι L^p.

 

CC - Αναφορά - Παρόμοια Διανομή
Διδάσκοντες

Διδάσκων: Μιχαήλ Μαριάς, Καθηγητής

Ο Μιχ. Γ. Μαριάς ανακηρύχθηκε Διδάκτορας στο Πανεπιστήμιο Pierre et Marie Curie του Παρισιού και είναι Καθηγητής του Μαθηματικού Τμήματος του Α.Π.Θ. Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα βρίσκονται στην Αρμονική και Στοχαστική Ανάλυση και την Ανάλυση επί Πολλαπλοτήτων.

 

 

Συνεργάτης Ανάπτυξης Περιεχομένου: Αναστασία Γρηγοριάδου

Περιεχόμενο μαθήματος
  • Μέτρα.
  • Το Θεώρημα του Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel.
  • Ολοκλήρωση  κατά Lebesgue
  • Ολοκλήρωση επί Καρτεσιανών γινομένων.
  • Οι χώροι  L^p.
  • Μιγαδικά μέτρα.
  • Χρήσιμες ανισότητες.
Προαπαιτούμενα

Εισαγωγή στην Πραγματική Ανάλυση. Το μάθημα είναι κατά μεγάλο ποσοστό αυτόνομο.

Ομάδα στόχος

Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών.

Βιβλιογραφία
  • G.B. Folland, Real Analysis, Modern techniques and their applications, John Wiley and sons, 1984, New York.
  • P. Malliavin, Integration et Probabilites, Analyse de Fourier et Analyse Spectrale, Masson, 1982, Paris.
  • Μιχ. Γ. Μαριάς, Μαθήματα Αρμονικής ανάλυσης, Εκδόσεις ζήτη, 2001, Θεσσαλονίκη.
  • W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1970, New York.

Ενότητες

Στην 1η  ενότητα εισάγεται η έννοια του μέτρου και προτείνουμε μια γενική μέθοδο κατασκευής μέτρων, που στηρίζεται στο Θεώρημα Καραθεοδωρή. Κατόπιν, θα την εφαρμόσουμε για να κατασκευάσουμε μέτρα επί της πραγματικής ευθείας ανάμεσα στα οποία είναι και το πολύ σημαντικό μέτρο του Lebesgue.

 

Λέξεις κλειδιά: σ-άλγεβρες. Μέτρα.

Στην 2η ενότητα παρουσιάζεται το Θεώρημα Καραθεοδωρή το οποίο μας δίνει μία γενική μέθοδο κατασκευής μέτρων. Μας επιτρέπει π.χ. να κατασκευάσουμε το μέτρο Lebesgue στον , καθώς και τα μέτρα Lebesgue-Stieltjes. Επειδή όλα τα ως άνω μέτρα ορίζονται επί της σ-άλγεβρας Borel του , λέγονται και μέτρα Borel.

 

Λέξεις κλειδιά: Μέτρο Lebesgue. Μέτρα Borel επί του R. Τα προ-μέτρα και η επέκτασή τους σε μέτρα. Σύνολα μέτρου μηδέν.

Στην 3η ενότητα θα ορίσουμε το ολοκλήρωμα ως προς ένα αφηρημένο μέτρο και θα αποδείξουμε τα θεωρήματα σύγκλισης του Lebesgue.

 

Λέξεις κλειδιά: Ολοκλήρωση θετικών συναρτήσεων. Θεώρημα Μονότονης σύγκλισης. Άρση της μονοτονίας. Λήμμα του Fatou. Ολοκλήρωση μιγαδικών συναρτήσεων. Το θεώρημα της Κυριαρχούμενης σύγκλισης. Σχέση ολοκληρώματος Riemann και Lebesgue. L1-σύγκλιση και σύγκλιση κατά μέτρο.

 

Στην 4η ενότητα θα ορίσουμε το μέτρο γινόμενο μ×ν επί του μετρήσιμου χώρου (Χ×Y, A×B) δύο σ - πεπερασμένων μετρητών χώρων (X, A, μ) και (Υ, Β, ν) και θα αποδείξουμε το Θεώρημα Fubini που μας επιτρέπει να υπολογίζουμε ‘διπλά’ ολοκληρώματα ως προς το μέτρο γινόμενο μ×ν, ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς μ και ύστερα ως προς ν ή ανάποδα, καταπώς μας βολεύει. Τέλος θα ορίσουμε το μέτρο Lebesgue στον R^n.

 

 

Λέξεις κλειδιά: Μέτρα γινόμενο. Θεώρημα Fubini. Το μέτρο Lebesgue στον R^n (συνοπτικά). Πολικές συντεταγμένες. Προσέγγιση των συναρτήσεων του L^1  (αλλά και του L^p).

Στην 5η ενότητα παρουσιάζονται οι χώροι Lp και οι ιδιότητές τους.

 

Λέξεις κλειδιά: Η ανισότητα Holder. Η ανισότητα Minkowski. Χώροι  L^p. Προσέγγιση συναρτήσεων του L^p.

Στην 6η ενότητα εισάγονται τα μιγαδικά μέτρα και αποδεικνύουμε το Θεώρημα των Radon-Nikodym που αποσαφηνίζει πλήρως την δομή τους.

Στη συνέχεια αναφέρουμε την δυικότητα των Lp.

 

Λέξεις κλειδιά: Το θεώρημα των Radon-Nikodym. Απόλυτη συνέχεια και Θεώρημα των Radon-Nikodym. Δυικότητα των L^p.

Στην 7η ενότητα θα μελετήσουμε ορισμένες σημαντικές ανισότητες που σχετίζονται με τους χώρους Lp.

 

Λέξεις κλειδιά: Ανισότητα Chebychev. Ανισότητα Minkowski για ολοκληρώματα. Ανισότητα Hardy. Η ανισότητα του Young. Η ανισότητα Young για συνελίξεις.

Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα
Επίπεδο: A-

Αρ. Επισκέψεων :  4506
Αρ. Προβολών :  27765