Λογισμός ΙV

Στην 1^η  ενότητα δίνεται ο ορισμός του διπλού ολοκληρώματος και υπολογίζουμε διπλά ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας την αρχή του Cavalieri.

Λέξεις Κλειδιά: Το διπλό ολοκλήρωμα. Η αρχή του Cavalieri.  

Στην 2^η ενότητα θα ορίσουμε το ολοκλήρωμα Riemann χρησιμοποιώντας τα αθροίσματα Darboux και Riemann, και θα αποδείξουμε το θεώρημα του Lebesgue, που προσδιορίζει επακριβώς την κλάση των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.

Λέξεις Κλειδιά: Το ολοκλήρωμα Riemann.

Στην 3^η ενότητα θα αποδείξουμε το θεώρημα του Lebesgue που προσδιορίζει επακριβώς την κλάση των ολοκληρωσίμων κατά Riemann συναρτήσεων.

Λέξεις Κλειδιά: Σύνολα μηδενικού μέτρου. Το Θεώρημα του Lebesgue.

Στην 4^η ενότητα χρησιμοποιώντας για τον ορισμό του ολοκληρώματος πότε τα αθροίσματα Riemann και πότε τα αθρίσματα Darboux, ανάλογα με το ποιο βολεύει καλύτερα, αποδεικνύουμε βασικές ιδιότητες.

Λέξεις Κλειδιά: Γραμμικότητα. Θετικότητα. Αλγεβρικές πράξεις.

Στην 5^η ενότητα αποδεικνύουμε το Θεώρημα Fubini το οποίο είναι ένα από τα κεντρικά θεωρήματα του λογισμού ολοκληρωμάτων πολλών μεταβλητών. Μας επιτρέπει να υπολογίζουμε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάγωντάς τα σε απλά.

Λέξεις Κλειδιά: Το Θεώρημα του Fubini.

Στην 6^η ενότητα δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini.

Λέξεις Κλειδιά: Χωρία τύπου 1,2, και 3.

Στην 7^η ενότητα δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα.

Λέξεις Κλειδιά: Τριπλά ολοκληρώματα

Στην 8^η ενότητα παρουσιάζονται οι πολικές, κυλινδρικές, σφαιρικές συντεταγμένες. Όπως γνωρίζουμε από την διάσταση 1, η αλλαγή μεταβλητής είναι πολλές φορές απαραίτητη  για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Η επιλογή της κατάλληλης αλλαγής στηρίζεται στη μορφή της συνάρτησης  που θέλουμε να ολοκληρώσουμε. Στις πολλές μεταβλητές ισχύουν τα ίδια, μόνο που εδώ παίζει ρόλο και η γεωμετρία του χωρίου που ολοκληρώνουμε.

Λέξεις Κλειδιά: Πολικές συντεταγμένες. Κυλινδρικές συντεταγμένες. Σφαιρικές συντεταγμένες.

Στην 9^η ενότητα παρουσιάζονται παραδείγματα αλλαγής μεταβλητών.

Λέξεις Κλειδιά: Αλλαγή μεταβλητών.

Στην 10^η ενότητα παρουσιάζεται οι διαιρέσεις της μονάδας και η επέκταση του ολοκληρώματος.

Λέξεις Κλειδιά: Διαιρέσεις της μονάδας. Επέκταση του ολοκληρώματος.

Στην 11^η ενότητα θα αποδείξουμε το θεώρημα αλλαγής των μεταβλητών στην γενική του μορφή.

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών. Η περίπτωση των δύο διαστάσεων.

Στην 12^η ενότητα ορίζονται τα μη γνήσια ολοκληρώματα και δίνονται εφαρμογές τους.

Λέξεις Κλειδιά: Μη γνήσια ολοκληρώματα.

Στην 13^η ενότητα εισάγεται το μήκος καμπύλης και το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα.

Λέξεις Κλειδιά: Μήκος καμπύλης. Το επικαμπύλιο διανυσματικών πεδίων.

Στην 14^η ενότητα αποδεικνύεται το βασικό θεώρημα Green που σε ορισμένες περιπτώσεις, συνδέει το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα με το διπλό ολοκλήρωμα, και το πόρισμα του θεώρημα της απόκλισης.

Λέξεις Κλειδιά: Το θεώρημα του Green. Διανυσματική μορφή του Green. Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο.

Στην 15^η ενότητα παρουσιάζεται μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή του Green στην Ανάλυση που αφορά τις αρμονικές συναρτήσεις.

Λέξεις Κλειδιά: Αρμονική συνάρτηση.

Στην 16^η ενότητα μελετούμε τις λείες παραμετρικοποιημένες επιφάνειες και εισάγουμε το ολοκλήρωμα επί επιφανειών.

Λέξεις Κλειδιά: Παραμετρικοποιημένες επιφάνειες. Εμβαδόν επιφάνειας.

Στην 17^η ενότητα ορίζεται το επί-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων και παρουσιάζεται ο νόμος του Gauss για ηλεκτρικά πεδία.

Λέξεις Κλειδιά: Επι-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων.

Στην 18^η ενότητα αποδεικνύεται το θεώρημα του Stokes και χαρακτηρίζονται τα συντηρητικά πεδία.

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα του Stokes. Συντηρητικά πεδία.

Στην 19^η ενότητα αποδεικνύεται το θεώρημα του Gauss που έχει πολλές εφαρμογές στην Φυσική.

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα του Gauss. Ο νόμος του Gauss.