Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου

Στην δέκατη ενότητα μελετούμε μια ειδική κατηγορία του προβλήματος που αναφέραμε στην Ενότητα 9 : το γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα (Linear Quadratic Regulator problem (LQR)) ή πρόβλημα βέλτιστου ρυθμιστή με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα ή με άπειρο χρονικό ορίζοντα. Και στις δύο περιπτώσεις η λύση είναι ανάδραση κατάστασης. Για τον προσδιορισμό της ανάδρασης κατάστασης στο πρώτο πρόβλημα, που έχουμε πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti, ενώ στην περίπτωση που έχουμε άπειρο χρονικό ορίζοντα παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti ανάγεται σε αλγεβρική εξίσωση. Ενώ στην πρώτη περίπτωση (πεπερασμένος χρονικός ορίζοντας) υπάρχει πάντα λύση, στην δεύτερη περίπτωση (άπειρος χρονικός ορίζοντας) για να έχει το πρόβλημα μας λύση θα πρέπει οι μεταβλητές του χώρου κατάστασης που εμπλέκονται στο συναρτησιακό να είναι ελέγξιμες ή τουλάχιστο σταθεροποιήσιμες για να μην απειρίζεται η συνάρτηση κόστους. Τέλος λύνουμε μια γενίκευση του προβλήματος αυτού, που είναι το πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem).

Λέξεις Κλειδιά:Διαφορική εξίσωση πινάκων Riccatti, Αλγεβρική εξίσωση πινάκων Riccatti, Γραμμικό τετραγωνικό πρόβλημα ή πρόβλημα βέλτιστου ρυθμιστή, Linear Quadratic Regulator (LQR) πρόβλημα, Ανιχνεύσιμο (detectable), Σταθεροποιήσιμο (stabilizable), Cholesky παραγοντοποίηση, Πρόβλημα ανίχνευσης (tracking problem)