Γενικά Μαθηματικά ΙΙ
Βλάχος Λουκάς
H εξοικείωση του σύγχρονου φυσικού με τον διαφορικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και διανυσματικών συναρτήσεων, ώστε να εφοδιαστεί με ένα απαραίτητο εργαλείο για την αντιμετώπιση των φυσικών προβλημάτων.
Λιγότερα
H εξοικείωση του σύγχρονου φυσικού με τον διαφορικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και διανυσματικών συναρτήσεων, ώστε να εφοδιαστεί με ένα απαραίτητο εργαλείο για την αντιμετώπιση των φυσικών προβλημάτων.
H εξοικείωση του σύγχρονου φυσικού με τον διαφορικό λογισμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και διανυσματικών συναρτήσεων, ώστε να εφοδιαστεί με ένα απαραίτητο εργαλείο για την αντιμετώπιση των φυσικών προβλημάτων.
Περίγραμμα
Διδάσκοντες
Διδάσκων:
Λουκάς Βλάχος, Καθηγητής
Βιογραφικό:
http://www.astro.auth.gr/~vlahos/
http://intersoftdemos.gr/loukasvlahos/content.asp?sid=1
Ομάδα ανάπτυξης περιεχομένου:
Μαρία Φίλιογλου
Περιεχόμενο μαθήματος
- Η ΣΧΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
- ΒΑΣΙΚΕΣ EΝΝΟΙΕΣ (Εισαγωγή, Σύνολα σημείων, Συστήματα συντεταγμένων, Επιφάνειες δευτέρου βαθμού, Ισοσταθμικές καμπύλες)
- ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ (Όρια, Συνέχεια)
- ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Ορισμοί και ιδιότητες των μερικών παραγώγων, Διαφόριση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών)
- ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, Θεώρημα του Euler, Διαφορικό σύνθετης συνάρτησης, Θεώρημα μέσης τιμής και σειρά Taylor, Πλεγμένες συναρτήσεις, Ιακωβιανές ορίζουσες)
- ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Παράγωγος κατά κατεύθυνση, Κλίση αριθμητικής συνάρτησης, Όρια, συνέχεια και παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης διανυσματικής μεταβλητής, Απόκλιση και στροφή διανυσματικών συναρτήσεων, Εφαπτόμενο επίπεδο και κάθετη ευθεία μιας επιφάνειας στο χώρο R3, Εφαπτόμενη και κάθετο επίπεδο μιας καμπύλης στο χώρο R3)
- ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, Καθορισμός των ακροτάτων τιμών, Ακρότατα υπό συνθήκη και πολλαπλασιαστές Lagrange)
Προαπαιτούμενα
Γενικά Μαθηματικά Ι
Μαθησιακοί στόχοι
Το μάθημα στοχεύει στην εξοικείωση των φοιτητών με το λογισμό των μεταβολών σε περισσότερες διαστάσεις. Στην άνετη χρήση του διανυσματικού λογισμού και των μετασχηματισμών συστημάτων συντεταγμένων. Στην σύνδεση του διαφορικού λογισμού πολλών μεταβλητών με φυσικά προβλήματα.
Ομάδα στόχος
Οι φοιτητές/απόφοιτοι του τμήματος Φυσικής και ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Μέθοδοι διδασκαλίας
- Διδασκαλία με την ενεργή συμμετοχή των φοιτητών.
- Δημιουργία ομάδων συνεργασίας και ανταλλαγής πληροφοριών
- Ιδιαίτερες συναντήσεις με τον διδάσκοντα για ανάλυση και απορίες (ομαδικά)
- Ασκήσεις (ατομικά)
Μέθοδοι αξιολόγησης
- Εξετάσεις
- Εβδομαδιαίες Ασκήσεις
Προτεινόμενα συγγράμματα
- Λ. Βλάχος, Διαφορικός λογισμός πολλών μεταβλητών: με σύντομη εισαγωγή στο Mathematica, εκδ. Τζιόλα , 2008
- Ν. Καρανικόλας, Εισαγωγή στο Διαφορικό Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, εκδ. Ζήτη,2008
Βιβλιογραφία
- Απειροστικός Λογισμός, Finney, Weir, Giordano (Εκδ. Πανεπιστημίου Κρήτης,2012)
- Calculus with Analytic Geometry, Ellis, Robert, (fifth edition, Saunders College Pub., 1994)
- Calculus, J. Stewart (Brooks/ Cole Pub. 2012)
Διδάσκων:
Λουκάς Βλάχος, Καθηγητής
Βιογραφικό:
http://www.astro.auth.gr/~vlahos/
http://intersoftdemos.gr/loukasvlahos/content.asp?sid=1
Ομάδα ανάπτυξης περιεχομένου:
Μαρία Φίλιογλου
- Η ΣΧΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
- ΒΑΣΙΚΕΣ EΝΝΟΙΕΣ (Εισαγωγή, Σύνολα σημείων, Συστήματα συντεταγμένων, Επιφάνειες δευτέρου βαθμού, Ισοσταθμικές καμπύλες)
- ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ (Όρια, Συνέχεια)
- ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Ορισμοί και ιδιότητες των μερικών παραγώγων, Διαφόριση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών)
- ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΛΕΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, Θεώρημα του Euler, Διαφορικό σύνθετης συνάρτησης, Θεώρημα μέσης τιμής και σειρά Taylor, Πλεγμένες συναρτήσεις, Ιακωβιανές ορίζουσες)
- ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Παράγωγος κατά κατεύθυνση, Κλίση αριθμητικής συνάρτησης, Όρια, συνέχεια και παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης διανυσματικής μεταβλητής, Απόκλιση και στροφή διανυσματικών συναρτήσεων, Εφαπτόμενο επίπεδο και κάθετη ευθεία μιας επιφάνειας στο χώρο R3, Εφαπτόμενη και κάθετο επίπεδο μιας καμπύλης στο χώρο R3)
- ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, Καθορισμός των ακροτάτων τιμών, Ακρότατα υπό συνθήκη και πολλαπλασιαστές Lagrange)
Γενικά Μαθηματικά Ι
Το μάθημα στοχεύει στην εξοικείωση των φοιτητών με το λογισμό των μεταβολών σε περισσότερες διαστάσεις. Στην άνετη χρήση του διανυσματικού λογισμού και των μετασχηματισμών συστημάτων συντεταγμένων. Στην σύνδεση του διαφορικού λογισμού πολλών μεταβλητών με φυσικά προβλήματα.
Οι φοιτητές/απόφοιτοι του τμήματος Φυσικής και ενδιαφερόμενοι για τη θεματική περιοχή του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
- Διδασκαλία με την ενεργή συμμετοχή των φοιτητών.
- Δημιουργία ομάδων συνεργασίας και ανταλλαγής πληροφοριών
- Ιδιαίτερες συναντήσεις με τον διδάσκοντα για ανάλυση και απορίες (ομαδικά)
- Ασκήσεις (ατομικά)
- Εξετάσεις
- Εβδομαδιαίες Ασκήσεις
- Λ. Βλάχος, Διαφορικός λογισμός πολλών μεταβλητών: με σύντομη εισαγωγή στο Mathematica, εκδ. Τζιόλα , 2008
- Ν. Καρανικόλας, Εισαγωγή στο Διαφορικό Λογισμό Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, εκδ. Ζήτη,2008
- Απειροστικός Λογισμός, Finney, Weir, Giordano (Εκδ. Πανεπιστημίου Κρήτης,2012)
- Calculus with Analytic Geometry, Ellis, Robert, (fifth edition, Saunders College Pub., 1994)
- Calculus, J. Stewart (Brooks/ Cole Pub. 2012)
Στην ενότητα αυτή προσπαθούμε να τοποθετήσουμε το μαθηματικά στο γενικότερο πλαίσιο της συνολικής μόρφωσης του σύγχρονου φυσικού, να συζητήσουμε τις υποχρεώσεις αυτών που θα παρακολουθήσουν το μάθημα και να περιγράψουμε σύντομα την ύλη του μαθήματος.
Λέξεις Κλειδιά: σχέση μαθηματικών και φυσικής
Στην ενότητα αυτή γίνεται μια προσπάθεια να ορίσουμε τη συνάρτηση πολλών μεταβλητών σε χώρους δυο ή περισσοτέρων διαστάσεων. Δίνουμε μερικά στοιχεία από τα σύνολα σημείων που είναι χρήσιμα για τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων. Επιχειρούμε μια σύντομη επανάληψη στα συστήματα συντεταγμένων και τις επιφάνειες δευτέρου βαθμού που θα χρησιμοποιήσουμε αρκετά στο μάθημα αυτό και συγχρόνως εισάγουμε και την έννοια των και χρησιμότητα των ισοσταθμικών καμπυλών.
Λέξεις Κλειδιά: συνάρτηση πολλών μεταβλητών, σύνολα σημείων, συστήματα συντεταγμένων, επιφάνειες δευτέρου βαθμού, ισοσταθμικές καμπύλες
Η επέκταση των εννοιών των ορίων και της συνέχειας που είναι γνωστές από τα Γενικά μαθηματικά 1 επιχειρείται στην ενότητα αυτή και δίνουμε και πολλά παραδείγματα. Είναι φανερό ότι το θέμα αυτό παρουσιάζει πολλές δυσκολίες και χρειάζεται προσεκτική μελέτη και άσκηση από τους φοιτητές/τριες.
Λέξεις Κλειδιά: όρια και συνέχεια
Εισάγουμε στην ενότητα αυτή την έννοια της μερικής παραγώγου πρώτης και ανωτέρας τάξεως και τις έννοιες του διαφορικού και του ολικού διαφορικού.
Λέξεις Κλειδιά: μερική παράγωγος, παράγωγος ανώτερης τάξης, γεωμετρική ερμηνεία μερικής παραγώγου, παράγωγος συνάρτησης, διαφορικό, ολικό διαφορικό
Οι σύνθετες συναρτήσεις αποτελούν το κύριο θέμα σε τούτη την ενότητα είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη φυσική για να ορίσουμε για παράδειγμα την εξέλιξη ενός μεγέθους (πχ της πίεσης) για ένα κινούμενο παρατηρητή. Εισάγουμε επίσης και το θεώρημα Euler που έχει πολλαπλές εφαρμογές.
Λέξεις Κλειδιά: σύνθετη συνάρτηση, Θεώρημα Euler
Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε το την ανάλυση μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών σε πολυώνυμο με τη βοήθεια του αναπτύγματος Taylor και θα συζητήσουμε της πεπλεγμένες συναρτήσεις, τις Ιακωβιανές ορίζουσες και τη συναρτησιακή εξάρτηση συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Λέξεις Κλειδιά: ανάπτυγμα Taylor, τύπος Mac-laurin, υπόλοιπο Taylor πεπλεγμένες συναρτήσεις, Ιακωβιανές ορίζουσες
Σκοπός αυτού του μαθήματος είναι ο ορισμός του διανυσματικού πεδίου, της διανυσματικής συνάρτησης και των παραγώγων των διανυσματικών συναρτήσεων. Ιδιαίτερα συμπαντική είναι η εισαγωγή της στροφής, κλίσης και στροφής, που αποτελούν βασικούς διανυσματικούς τελεστές για την μαθηματική ανάλυση πολλών φυσικών προβλημάτων. Γεωμετρικές εφαρμογές των διανυσματικών συναρτήσεων (Εφαπτόμενο επίπεδο και κάθετη ευθεία μιας επιφάνειας στο χώρο R3, Εφαπτόμενη και κάθετο επίπεδο μιας καμπύλης στο χώρο R3).
Λέξεις Κλειδιά: διανυσματικές συναρτήσεις, παράγωγος κατά κατεύθυνση, στροφή συνάρτησης, απόκλιση συνάρτησης, κλίση συνάρτησης, διαφορικοί τελεστές, εφαπτόμενο επίπεδο σε επιφάνεια στο χώρο, Κάθετη ευθεία σε επιφάνεια στο χώρο,εξίσωση ευθείας,εξίσωση καμπύλης, εξίσωση επιπέδου
Η αναζήτηση των άκρων τιμών και ο χαρακτηρισμός τους σε μέγιστα, ελάχιστα ή σαγματικά σημεία είναι το αντικείμενο της ενότητας αυτής. Παράλληλα μελετάμε τα δεσμευμένα ακρότατα και συζητάμε τη χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange. Είναι πολύ σημαντικό οι φοιτητές και οι φοιτήτριες που ενδιαφέρονται για το μάθημα αυτό να εργαστούν στις εφαρμογές των ακροτάτων στη φυσική. Επίσης, στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται ορισμένες εφαρμογές των μεγίστων και ελαχίστων. Οι ενδιαφερόμενοι καλούνται να είναι σε θέση να εφαρμόζουν την θεωρία των μεγίστων και ελαχίστων πάνω σε προβλήματα.
Λέξεις Κλειδιά: μέγιστα και ελάχιστα, ακρότατα, κρίσιμα σημεία, σαγματικά σημεία, πολλαπλασιαστές Lagrange
Στην ενότητα αυτή γίνεται μια επανάληψη πάνω στις διανυσματικές συναρτήσεις. Οι διανυσματικές συναρτήσεις είναι ένα βασικό εργαλείο για την κατανόηση του διαφορικού λογισμού πολλών μεταβλητών και κατ’επέκταση πολλών μεγεθών στην φυσική.
Λέξεις Κλειδιά: διανυσματικές συναρτήσεις, παράγωγος κατά κατεύθυνση, στροφή συνάρτησης, απόκλιση συνάρτησης, κλίση συνάρτησης, διαφορικοί τελεστές
Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα
Αρ. Επισκέψεων : 12528
Αρ. Προβολών : 68921
