Λογισμός ΙV

Μαριάς Μιχαήλ

Περιγραφή

Πολλαπλά ολοκληρώματα. Ορισμός, ιδιότητες. Θεώρημα Fubini. Yπολογισμός πολλαπλών ολοκληρωμάτων. Αλλαγή συντεταγμένων.  Πολι­κές, σφαιρικές, και κυλινδρικές συντεταγμένες. Eπικαμπύ­λια ολοκληρώ­μα­τα, ιδιότητες και εφαρμογές. Θεώρημα του Green στο επίπεδο. Eφαρμο­γές του θεωρήματος του Green. H φυσική ερμηνεία της απόκλισης και στροβιλισμού ενός διανυσματικού πεδίου. Eπιφα­νεια­κά ολοκληρώματα. Παραμετρική παράστασις των επιφανειών, εμβαδόν μιας επιφανείας, ιδιό­τη­τες επιφανειακών ολοκληρωμάτων, θεωρήματα της αποκλίσεως (Green-Grauss) στις τρεις διαστάσεις, θεώρημα του Sto­kes. Eφαρμογές των θεωρημάτων Green-Gauss και Stokes.

 

 

Κωδικός: OCRS437
Κατηγορία: Μαθηματικών » Προπτυχιακό
CC - Αναφορά - Παρόμοια Διανομή
CC - Αναφορά - Παρόμοια Διανομή

Θεματικές Ενότητες

Στην 1η  ενότητα δίνεται ο ορισμός του διπλού ολοκληρώματος και υπολογίζουμε διπλά ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας την αρχή του Cavalieri.

 

Λέξεις Κλειδιά: Το διπλό ολοκλήρωμα. Η αρχή του Cavalieri.  

Στην 2η ενότητα θα ορίσουμε το ολοκλήρωμα Riemann χρησιμοποιώντας τα αθροίσματα Darboux και Riemann, και θα αποδείξουμε το θεώρημα του Lebesgue, που προσδιορίζει επακριβώς την κλάση των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων.

 

Λέξεις Κλειδιά: Το ολοκλήρωμα Riemann.

Στην 3η ενότητα θα αποδείξουμε το θεώρημα του Lebesgue που προσδιορίζει επακριβώς την κλάση των ολοκληρωσίμων κατά Riemann συναρτήσεων.

 

Λέξεις Κλειδιά: Σύνολα μηδενικού μέτρου. Το Θεώρημα του Lebesgue.

Στην 4η ενότητα χρησιμοποιώντας για τον ορισμό του ολοκληρώματος πότε τα αθροίσματα Riemann και πότε τα αθρίσματα Darboux, ανάλογα με το ποιο βολεύει καλύτερα, αποδεικνύουμε βασικές ιδιότητες.

 

Λέξεις Κλειδιά: Γραμμικότητα. Θετικότητα. Αλγεβρικές πράξεις.

Στην 5η ενότητα αποδεικνύουμε το Θεώρημα Fubini το οποίο είναι ένα από τα κεντρικά θεωρήματα του λογισμού ολοκληρωμάτων πολλών μεταβλητών. Μας επιτρέπει να υπολογίζουμε πολλαπλά ολοκληρώματα ανάγωντάς τα σε απλά.

 

Λέξεις Κλειδιά: Το Θεώρημα του Fubini.

Στην 6η ενότητα δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini.

 

Λέξεις Κλειδιά: Χωρία τύπου 1,2, και 3.

Στην 7η ενότητα δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα.

 

Λέξεις Κλειδιά: Τριπλά ολοκληρώματα

Στην 8η ενότητα παρουσιάζονται οι πολικές, κυλινδρικές, σφαιρικές συντεταγμένες. Όπως γνωρίζουμε από την διάσταση 1, η αλλαγή μεταβλητής είναι πολλές φορές απαραίτητη  για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Η επιλογή της κατάλληλης αλλαγής στηρίζεται στη μορφή της συνάρτησης  που θέλουμε να ολοκληρώσουμε. Στις πολλές μεταβλητές ισχύουν τα ίδια, μόνο που εδώ παίζει ρόλο και η γεωμετρία του χωρίου που ολοκληρώνουμε.

 

Λέξεις Κλειδιά: Πολικές συντεταγμένες. Κυλινδρικές συντεταγμένες. Σφαιρικές συντεταγμένες.

Στην 9η ενότητα παρουσιάζονται παραδείγματα αλλαγής μεταβλητών.

 

Λέξεις Κλειδιά: Αλλαγή μεταβλητών.

Στην 10η ενότητα παρουσιάζεται οι διαιρέσεις της μονάδας και η επέκταση του ολοκληρώματος.

 

Λέξεις Κλειδιά: Διαιρέσεις της μονάδας. Επέκταση του ολοκληρώματος.

Στην 11η ενότητα θα αποδείξουμε το θεώρημα αλλαγής των μεταβλητών στην γενική του μορφή.

 

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών. Η περίπτωση των δύο διαστάσεων.

Στην 12η ενότητα ορίζονται τα μη γνήσια ολοκληρώματα και δίνονται εφαρμογές τους.

 

Λέξεις Κλειδιά: Μη γνήσια ολοκληρώματα.

Στην 13η ενότητα εισάγεται το μήκος καμπύλης και το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα.

 

Λέξεις Κλειδιά: Μήκος καμπύλης. Το επικαμπύλιο διανυσματικών πεδίων.

Στην 14η ενότητα αποδεικνύεται το βασικό θεώρημα Green που σε ορισμένες περιπτώσεις, συνδέει το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα με το διπλό ολοκλήρωμα, και το πόρισμα του θεώρημα της απόκλισης.

 

Λέξεις Κλειδιά: Το θεώρημα του Green. Διανυσματική μορφή του Green. Το θεώρημα της απόκλισης στο επίπεδο.

Στην 15η ενότητα παρουσιάζεται μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή του Green στην Ανάλυση που αφορά τις αρμονικές συναρτήσεις.

 

Λέξεις Κλειδιά: Αρμονική συνάρτηση.

Στην 16η ενότητα μελετούμε τις λείες παραμετρικοποιημένες επιφάνειες και εισάγουμε το ολοκλήρωμα επί επιφανειών.

 

Λέξεις Κλειδιά: Παραμετρικοποιημένες επιφάνειες. Εμβαδόν επιφάνειας.

Στην 17η ενότητα ορίζεται το επί-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων και παρουσιάζεται ο νόμος του Gauss για ηλεκτρικά πεδία.

 

Λέξεις Κλειδιά: Επι-επιφάνειο ολοκλήρωμα διανυσματικών πεδίων.

Στην 18η ενότητα αποδεικνύεται το θεώρημα του Stokes και χαρακτηρίζονται τα συντηρητικά πεδία.

 

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα του Stokes. Συντηρητικά πεδία.

Στην 19η ενότητα αποδεικνύεται το θεώρημα του Gauss που έχει πολλές εφαρμογές στην Φυσική.

 

Λέξεις Κλειδιά: Θεώρημα του Gauss. Ο νόμος του Gauss.

Ανοικτό Ακαδ. Μάθημα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα
Επίπεδο: A-

Αρ. Επισκέψεων :  1464
Αρ. Προβολών :  5702

Ημερολόγιο

Ανακοινώσεις

  • - Δεν υπάρχουν ανακοινώσεις -